Cours de Mathematiques de terminale

> Limites (Rappel et compléments)

I - Limite finie en +∞ ou en -∞. Asymptote horizontale

Définition
Soit f une fonction définie au voisinnage de +∞ (sur [α;+∞[ ou ]α;+∞[)
f a pour limite le réel L en +∞ si et seulement si toute intervalle ouvert J contenant L, contient tous les nombres f(x) pour x suffisament grand

Théorème des gendarmes
Si sur l'intervalle ]α;+∞[,
on a : g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)
lim (+∞) g = L
lim (+∞) h = L
alors : lim (+∞) f = L

Démonstration
Soit à montrer que toute intervalle ouvert J contenant L, contient tous les f(x) pour x suffisament grand.
Soit donc J, un intervalle ouvert quelconque contenant L
Comme lim (+∞) g = L, alors tous les g(x)∈J pour x>A
Comme lim (+∞) h = L, alors tous les h(x)∈J pour x>A
Soit C, le plus grand des trois nombres α, A et B.
On a : g(x)∈J, h(x)∈J,
g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)
J est un intervalle
Donc : f(x)∈J

II - Fonction de limite + en +. Eventuelles asymptotes obliques

Définition
f est une fonction définie sur [α;+∞[ (ou ]α;+∞[)
Dire que f a pour limite +∞ en +∞, c'est dire que toute intervalle du type ]M;+∞[ avec M>0, contiens tous les f(x) pour x suffisamment grand.
Autrement dit quelque soit l'intervalle ]M;+∞[ que l'on choisisse, il existe un réel A tant que si x>A alors f(x)∈]M;+∞[

III - Fonctions de limite infinie en a

Définition
f est définie au voisinnage de a
Dire que f a pour limite +∞ en a signifie que tout intervalle ]M;+∞[ avec M>0, contient tous les f(x) pour x suffisamment grand

IV - Opérations sur les limites

Indéterminations
somme (+∞) + (-∞) = ∅
produit (O) x (+∞) = ∅
quotient (+∞) : (+∞) = ∅ ou (O) : (O) = ∅

Fonctions composée
a, b, c désignent un réel ou +∞
Si lim (a) f = b et lim (b), alors lim (a) g_of = c