Missy Myd'

Cours de Mathematiques de terminale

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I - Fonction continue en un réel a

Définitions
Une fonction f est continue en un réel a si et seulement si :
- f est définie en a
- lim (a) f = f(a)

Définitions
Une fonction f est continue sur un intervalle I si et seulement si elle est continue en chaque réel a de I

Proprités
- Si f et g sont deux fonctions sur un intervalle I, alors les fonctions f +/-/x/: g est continue sur I si g ne s'annule pas sur I
- Si f est une fonction continue sur I et prenant ses valeurs dans un intervalle J.
Si x∈I alors f(x)∈J
Si g est unee fonction continue sur J alors gof est continue sur I

II - Théorème des valeurs intermédiaires

Théorème
On admet "Si f est une fonctiondéfinie et continue sur un intervalle I et si a et b sont deux réels appartenant I
Alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c compris entre a et b, tant que f(c)=k"

Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires
Si f est une fonction définie, continue et strictement croissante sur l'intervalle [a;b]
Alors pour toute valeur k de l'intervalle [f(a);f(b)], il existe un réel c unique de [a;b] tant que k=f(c)
L'équation f(x)=k a une sollution et une seule.

Démonstration
Comme f est continue sur [a;b] alors selon le théorème des valeurs intermédiaires, pour toute valeur k comprise entre f(a) et f(b)
Alors il existe au moins une valeur c dans [a;b] tant que k=f(c)
- si α∈[a;c[, alors α < c et f(α) < f(c) car f est strictement croissante sur [a;b]
f(α) < f(c) et f(c) = k donc f(α) ≠ k
- si β∈]c;b] alors β > c et f(β) > f(c) car f est strictement croissante sur [a;b]
f(β) > f(c) et f(c) = k donc f(β) ≠ k
- et donc k ne peut être l'immage que de c