Missy Myd'

Cours de Mathematiques de terminale

> La fonction exponentielle de base e

I - Définition et propriétés algébriques de la fonction exponentielle de base e

Définition
On appelle fonction exponentielle de base e et on note exp, la solution sur ℝ de l'équation différentielle y'=y prenant en 0 la valeur 1
exp'(x) = exp(x) ; exp(0) = 1
exp(x) ≠ 0 ; exp(-x) = 1/exp x
exp 1 = 2,7

Propriétés algébriques et démonstration
Posons ∀x∈ℝ, k(x) = exp(y+y)/exp x , k dérivée sur ℝ et :
k'(x) = (exp'(x+y)x1xexp(x) - exp'(x)xexp(x+y))/exp²x = 0, mais k(x) = k(0)
exp(x+y)/exp(x) = exp(0+y)/exp(0) = exp y <=> exp(x+y) = exp x + exp y
- exp x = exp (x/2 +x/2) = exp x/2 x exp x/2 = (exp x/2)² > 0
- ∀x∈ℝ, ∀y∈ℝ, exp(x-y) = exp x / exp y
- Pour n=0, exp(0x) = exp 0 = 1 et (exp x)0 = 1, donc exp(0x) = (exp x)0
Formulons l'ypothèse de récurrences qu'il existe un entier naturel k pour lequel : exp(kx) = (exp px)k
On montre la propriété pour k+1
exp[(k+1)x] = exp(kx+x) = exp(kx) + exp x = (exp x)k x (exp x)1 = (exp x)k+1

II - Etude des variations et représentation graphique de exp

x -∞ 0 +∞
d'(x) - +
d 0
d(x)

Tangentes
T0: y=x+1
Posons d(x)=ex-x-1, x∈ℝ
∀x∈ℝ, d(x) ≥ 0 donc ex ≥ x+1
De même, T1: y=e.x
∀x∈ℝ, ex >= x+1, lim (+∞) (x+1) = +∞, donc lim (+∞) ex = +∞
lim (+∞) (-x) = +∞, lim (+∞) ex = +∞, donc par composition, lim (-∞) e-x = +∞
Or, e-x=1/ex donc lim (-∞) ex = 0

Limites utiles à connaître
- exp est dérivée en 0 de nombre dérivé exp'(0)=1
lim (0) (exp x - exp 0)/(x-0) = 1 donc lim (0) (ex+1)/x = 1
- ∀x∈ℝ+, ex/x = e(x/2+x/2)/racine(x)² = (e(x/2)/racine(x)) = (racine (ex)/racine(x))²
On sait que ∀x∈ℝ+, ex >= x+1 <=> ex/2 >= x/2 +1 <=> ex/2 >= x/2
et donc ex/2/racine(x) >= x/(2racine(x)) <=> racine(ex/x) >= racine(x)/2
lim (+∞) racine(x)/2 = +∞ donc par comparaison, puis par composition avec la racine carrée lim (+∞) ex/x = +∞
- lim (-∞) (-x) = +∞ et lim (+∞) ex/x = +∞
donc par composition, lim (-∞) e-x/(-x) = +∞ <=> lim (-∞) 1/(-x.ex) = +∞
donc lim (-∞) (x.ex) = 0

III - Fonction exponentielle de base a

Définition
Si a∈ℝ+* et si x∈ℝ, ln ax = x.ln a <=> eln a x = ex.ln a
Donc ax = ex.ln a

Propriétés opératoires de exp a
- ax+y = ax x ay - a-y = 1/ay - ax-y = ax / ay - arx = (ax)r Démonstration : ramenez - a-y = e-yln a = 1/eyln a = 1/ay

Dérivée
ln a x expa(x)

Limites
- 1er cas : a∈]0;1[, ln a < 0 et expa est strictement décroissante sur ℝ lim (+∞) xln a = -∞ et lim (-∞) ex = 0, donc par composition, lim (+∞) expa(x) = 0 lim (-∞) xln a = +∞ et lim (+∞) ex = +∞, donc par composition, lim (-∞) expa(x) = +∞ - 2ème cas : a∈]1;+∞[, ln a > 0 et expa est strictement croissante sur ℝ lim (+∞) xln a = +∞ et lim (+∞) ex = +∞, donc par composition, lim (+∞) expa(x) = +∞ lim (-∞) xln a = -∞ et lim (-∞) ex = 0, donc par composition, lim (-∞) expa(x) = 0 - 3ème cas : expax/x = (exln a)/(xln a) x ln a si a∈]1;+∞[, ln a > 0, lim (+∞) xln a = +∞ et lim (+∞) ex/x = +∞, donc par composition puis par produit, lim (+∞) expa(x)/x = +∞ si a∈]0;1[, ln a < 0, lim (-∞) xln a = +∞ et lim (+∞) ex/x = +∞, donc par composition puis par produit, lim (-∞) expa(x)/x = -∞