Cours de Mathematiques de terminale

> Dérivation (Rappels et compléments)

I - Rappels de définitions

Définition 1
f est une fonction définie sur un intervalle I ; a∈I
f est dite dérivée en a, de nombre dérivé f'(a) si et seulement si lim (a) (f(x)-f(a)) / (x-a) = f'(a) ; f'(a)∈ℝ

Tangente
T: y=f'(a)(x-a)+f(a)

Définition 2
On pose x-a=h, on a x=a+h
Dire que x tend vers a équivaut à dire que h tend vers 0.
f est dérivée en a, de nombre dérivé f'(a) si et seulement si lim (h->0) (f(a+h)-f(a))/h = f'(a) ; f'(a)∈ℝ

Définition 3
Dire que f est dérivée en a, de nombre dérivé f'(a), équivaut à dire que :
lim (0) (f(a+h)-f(a))/h = f'(a) = 0 <=> (f(a+h+)-f(a))/h - f'(a) = ∑(h) ; lim (0) ∑(h) = 0
f(a+h)-f(a)-h.f'(a) = h.∑(h) ; lim (0) ∑(h) = 0
f(a+h) = f(a)+h.f'(a)+h.∑(h)

Fonction dérivée
Si f est dérivée en tout x de I alors la fonction qui, à tout x de I, associe son nombre dérivé est appelée la fonction dérivée de f sur I, notée f'

II - Lien dérivabilité. Continuité

Définition
Si f est dérivée en un réel a de l'intervalle I, alors f est continue sur a

Démonstration
Puisque f est dérivée en a, de nombre dérivé f'(a) alors : f(a+h) = f(a)+h.f'(a)+h.∑(h) ; lim (0) ∑(h) = 0 et f'(a)∈ℝ Montrons que lim (a) f(x) = f(a) Dire que x tend vers a, c'est dire que : x=a+h avec h tendant vers 0 Cela revient à montrer : lim (a) f(a+h) = f(a) Quand h tend vers 0, h.f'(a) tend vers 0 et h.∑(h) tend vers 0, et donc f(a+h) tend vers f(a)

III - Composée de fonction dérivables

Théorème
Si f est une fonction dérivée sur un intervalle I et prend ses valeurs dans un intervalle J sur lequel g est dérivable
Alors gof est dérivable sur I et pour tout a de I, (gof)'(a) = g'[f(a)]xf'(a)

IV - Fonction tangente

Dérivée
tan'(x) = 1/cos²x = 1+tan²x > 0